Inégalité triangulaire

Proposition

Pour tous  `z` et  `z'` appartenant à  `\mathbb{C}` , \(\left\vert z+z' \right\vert \leqslant \left\vert z \right\vert + \left\vert z' \right\vert\) .

Lemme

Pour tout `Z \in \mathbb{C}` , \(\text R\text e(Z) \leqslant \left\vert Z \right\vert\) .

Démonstration du lemme

On note `Z=X+iY`  avec  `X \in \mathbb{R}` et `Y \in \mathbb{R}` .
On a : \(\begin{align*} \left\vert Z \right\vert = \sqrt{X^2+Y^2} \geqslant \sqrt{X^2} = \left\vert X \right\vert \geqslant X =\text R\text e(Z). \end{align*}\)

Démonstration de l'inégalité triangulaire

Comme le module d'un nombre complexe est positif,
on a : \(\begin{align*} \left\vert z+z' \right\vert \leqslant \left\vert z \right\vert+\left\vert z' \right\vert & \ \ \Longleftrightarrow \ \ \left\vert z+z' \right\vert^2 \leqslant \left(\left\vert z \right\vert+\left\vert z' \right\vert\right)^2. \end{align*}\)

D'une part :
\(\begin{align*} \left\vert z+z' \right\vert^2 = (z+z')\overline{(z+z')} & = (z+z')(\overline{z}+\overline{z'}) \\ & = z\overline{z}+z\overline{z'}+\overline{z}z'+z'\overline{z'} \\ & = \left\vert z \right\vert^2+z\overline{z'}+\overline{z\overline{z'}}+\left\vert z' \right\vert^2 \\ & = \left\vert z \right\vert^2+2\text R\text e(z\overline{z'})+\left\vert z' \right\vert^2. \end{align*}\)

D'autre part :
\(\begin{align*} \left(\left\vert z \right\vert+\left\vert z' \right\vert\right)^2 & = \left\vert z \right\vert^2+2\left\vert z \right\vert \left\vert z' \right\vert +\left\vert z' \right\vert^2 \\ & = \left\vert z \right\vert^2+2\left\vert z \right\vert \left\vert \overline{z'} \right\vert +\left\vert z' \right\vert^2 \\ & = \left\vert z \right\vert^2+2\left\vert z\overline{z'} \right\vert +\left\vert z' \right\vert^2. \end{align*}\)

D'après le lemme précédent, appliqué avec `Z=z\overline{z'}` , on a \(\text R\text e(z\overline{z'}) \leqslant \left\vert z\overline{z'} \right\vert\)
et donc : \(\begin{align*} \left\vert z \right\vert^2+2\text R\text e(z\overline{z'})+\left\vert z' \right\vert^2 \leqslant \left\vert z \right\vert^2+2\left\vert z\overline{z'} \right\vert +\left\vert z' \right\vert^2 \end{align*}\)
c'est-à-dire : \(\left\vert z+z' \right\vert^2 \leqslant \left(\left\vert z \right\vert+\left\vert z' \right\vert\right)^2\) .